1.1) Die Quadratwurzel

Unter einer Wurzel von a versteht man die nicht negative Zahl, die quadriert a ergibt. Du lernst in diesem Abschnitt, wie man einfache Wurzeln bildet.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.1




1.2) Intervallschachtelung

Ist der Radikant keine Quadratzahl, kann die Wurzel nur in unednlich vielen Schritten berechnet werden. Man muss sie mit Hilfe einer Intervallschachtelung bestimmen.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.2

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1.3) Produkt- und Quotientenregel

Bei Produkten und Quotienten darf man gliedweise die Wurzel ziehen, nicht jedoch bei den Trichrechenarten + und - .

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.3




1.4) Die reellen Zahlen

Nicht alle dezimalen Zahlen sind in den rationalen Zahlen. Diese irrationalen Zahlen besitzen eine unendliche nicht periodische Darstellung .

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.4




1.5) Teilweise Radizieren

Manchmal kann man nur zum Teil die Wurzel ziehen. Der nicht-quadratische Rest bleibt unter der Wurzel. Mit Zahlen kannst du das im App Teil üben. In der anderen Richtung kann man auch alles unter eine Wurzel bringen.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.5




1.6) Addieren von Wurzeltermen

Leider darf man bei den Strichrechenarten nicht gliedweise addieren bzw subtrahieren. Man darf aber gleichartige Terme addieren. Hintergrund dafür ist das Distributivgesetz.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.6




1.7) Binomische Formeln

Mit Hilfe der binomischen Formeln 1 und 2 kann man Summen in reine Quadrate umwandeln, aus denen man dann die Wurzel ziehen kann.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.7




1.8) Rational machen des Nenners

Es ist oft schöner, wenn man im Nenner keine Wuzeln stehen hat. Es gibt zwei Tricks. Einmal erweitert man mit der Wurzel im Nenner, das andere mal mit der 3. binomischen Formel.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.8

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1.9) Rein quadratische und Wurzelgleichungen

Bei Wurzelgleichungen muss zuerst die Definitionsmenge bestimmt werden. Für die Lösung muss die Wurzel durch quadrieren beseitigt werden. Rein quadratische Gleichungen löst man nach x² auf und zieht dann die Wurzel. Achtung: Es kann zwei Lösungen geben.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 1.9




2.1) Gleichungen der Form ax² + bx = 0

Quadratische Gleichungen mit einem x² und einem x Term kann man auflösen durch Ausklammern oder Teilen durch x. Der letztere Weg hat jedoch ein Risiko, nämlich, dass man die 0 als Lösung unterschlägt.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 2.1




2.2) Gleichungen lösen mit quadratischem Ergänzen

Eine allgemeine quadratische Gleichung löst man, indem man den x und den x² Term auf eine Seite bringt und die Zahl auf die anderen. Dann wird durch Ergänzen von b² mit Hilfe einer binomischen Formel ein reines Quadrat hergestellt, aus dem man die Wurzel ziehen kann.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 2.2

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2.3) Allgemeine Lösungsformel für quad. Gleichungen (Mitternachtsformel)

Eine quadratische Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 lässt sich immer mit der Mitternachtsformel lösen. In dieser Formel kommen nur a, b und c vor. Man berechnet als Zwischenschritt zuerst die Diskriminante D. Diese entscheidet, ob es eine, zwei oder keine Lösung gibt.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 2.2




2.4) Satz von Vieta

Sind die Lösungen einer normierten quadratischen Gleichung (x²+px+q=0) ganzzahlig, dann muss deren Produkt q und deren Summe -p ergeben.

Arbeitsblatt   zu Kapitel 2.3

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2.5) Textaufgaben zu quadratischen Gleichungen

Obwohl man es im Alltag nicht zu oft mit quadratischen Gleichungen zu tun hat, gibt es diese trotzdem. Die Auswahl in dem folgenden Aufgabenblatt soll euch diese Thematik etwas näher bringen.

Arbeitsblatt   zu Textaufgaben.




3.1) Quadratische Funktionen

Zeichnet man den Graphen von y = x², so ergibt sich eine Normalparabel. Multipliziert man diese Gleichung mit einem konstanten Faktor a, also y = ax², so ändert sich die Form der Parabel, aber nicht der Scheitel. Bei y = (x-b)² + a verschiebt das a in y- und das b in x- Richtung. Der Scheitelpunkt S liegt bei S(b|a).

Arbeitsblatt   zu quadratischen Funktionen.




3.2) Scheitelform

Ist eine Parabelgleichung in der Scheitelform y = a(x-b)²+c gegeben, dann kann man diese sehr leicht skizzieren. Der Scheitel S liegt bei S(b|c). a ist der Formfaktor, der angibt, wie stark die Flanken der Parabel ansteigen.

Arbeitsblatt   zur Scheitelform.




3.3) Normalform

Ist eine Parabelgleichung in der Normalform y = ax²+bx+c gegeben, dann verliert man die Information über den Scheitel. Man muss durch quadratisches Ergänzen die Scheitelform wieder herstellen.

Arbeitsblatt   zur Normalform.

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3.4) Nullstellen einer Parabel

Neben dem Scheitel schenkt man auch den Schnittpunkten mit der x-Achse größere Aufmerksamkeit. Ein Punkt liegt immer dann auf der x-Achse, wenn der y-Wert gleich 0 ist. Setzt man für y den Wert 0 in die Parabelgleichung ein, muss man nur noch die quadratische Gleichung auflösen und man hat die Nullstellen. Es kann zwei, eine oder keine geben. Hat man sie Nullstellen, so kann man auch den x-Wert des Scheitelpunktes ermitteln. Dieser liegt genau zwischen den Nullstellen.

Arbeitsblatt   zu den Nullstellen.




3.5) Schnittpunkte

Bei zwei Geraden hat man den gemeinsamen Schnittpunkt durch das Gleichsetzungsverfahren ermittelt. Genauso kann man vorgehen, um den Schnittpunkt von Gerade und Parabel, bzw von zwei Parabeln berechnen.

Arbeitsblatt   zu Schnittpunkten.

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3.6) Normalform und Scheitelform

Bei Parabeln unterscheiden wir die Normalform y = ax² + bx + c, welche einem keine Auskunft über die Lage des Scheitelpunkts gibt, und die Scheitelform y = a (x - xS)² + yS bei der man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann. wie man beide Formen ineinander umwandelt, lernt man in diesem Kapitel.

Arbeitsblatt   zu Parabelformen.

Falls es im Unterricht zu schnell ging, schau dir das Video 1 und Video 2 an.




3.7) Nullstellenform

Die dritte Form einer Parabelgleichung ist praktisch, wenn man die Nullstellen kennt und will die Parabelgleichung aufstellen. Sie lautet y = a (x-x1) (x-x2) mit den Nullstellen x1 und x2. Sie existiert leider nur dann, wenn die Parabel auch Nullstellen besitzt, d.h. wenn diese die x-Achse schneidet.

Arbeitsblatt   zur Nullstellenform.

Schau dir vielleicht erst mal das folgende Erklärvideo an.